นายอำนวย สุวรรณคีรี เกิดเมื่อวันที่ 1 พฤศจิกายน พ.ศ. 2481 ที่ จังหวัดสงขลา เป็นบุตรของนายซ้อน กับนางรืน สุวรรณคีรี[1] เป็นน้องชายของ รองศาสตราจารย์ภิญโญ สุวรรณคีรี ศิลปินแห่งชาติ สาขาทัศนศิลป์ และเป็นพี่ชายของดร.ไตรรงค์ สุวรรณคีรี เป็นนักการเมืองสังกัดพรรคประชาธิปัตย์ ผู้ได้รับ 2 รางวัลพระราชทาน คือ โล่รางวัล "มหิดลวรานุสรณ์" และ รางวัล "เสาเสมาธรรมจักร"

นายอำนวย สุวรรณคีรี สำเร็จการศึกษาจากคณะเศรษฐศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์